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拓扑学在各领域的应用

3D生态网2020-11-25
说起拓扑,大多数人都感到十分陌生,今天小编就带大家来简单捋一捋。数学领域的拓扑学要追溯到1736年的哥尼斯堡七桥问题

说起拓扑,大多数人都感到十分陌生,今天小编就带大家来简单捋一捋。

数学领域的拓扑学要追溯到1736年的哥尼斯堡七桥问题——

即有七座桥把两个小岛和河岸连接起来,一个人怎样才能一次走过七座桥,每座桥只走一次,最后回到出发点?

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数学家欧拉把这个问题抽象成为一种数学结构(如上图),即节点之间链接的图示,这种结构被称为“图论”,它具有拓扑学的特性:在不改变图表性质的前提下,只要是节点间连接不改变,图表的形状可以任意扭曲和变形,这与节点的位置和连线的曲直无关。这是拓扑学最初的含义。

随着学科的发展,作为数字领域重要分支的拓扑学逐步聚焦于研究几何图形在连续形变下保持不变的性质,即描述局部形变下的不变性。

拓扑研究只考虑物体间的位置关系,而不考虑它们的形状和大小。举个例子,对于拓扑学家来说,咖啡杯和面包圈没什么区别。因为只要图形的闭合性质不被破坏,在拓扑学上它们就都是等价的。

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我猜一部分小伙伴可能没太读懂这段话(怎么猜到的,因为我就是其中之一T_T)

所以,小编又找了另外一个例子做补充。

在2016年诺贝尔奖颁奖的新闻发布会上,诺贝尔物理学奖评委会委员托尔斯汉森为了更生动地让到场媒体人了解“拓扑学”这个相对冷门的概念。用了三个形状不同的面包作比喻:一个没有洞的瑞典国民肉桂卷面包、有一个洞的面包圈和有两个洞的瑞典碱水面包。

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他解释道:“对于我们来说,这三种面包是完全不同的,口味有甜有咸,形状也不一样;对于拓扑学家而言,他们关注的不同点却只有一个,那就是面包上洞的数量——肉桂卷面包上没有洞,面包圈上有一个洞,碱水面包上有两个洞。对于这些面包,我可以弯曲它、挤压它,但如果要改变洞的数量,我就必须非常用力地撕开它才行,这就是拓扑不变量的稳定性。”

也就是说,如果两个物体有相同的洞数,那么从拓扑学角度来看,它们就没有区别。

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按这个逻辑,人和铅笔,其实也是一样的。

基于拓扑的这一特质,它在各学科应用中均有着独特的意义。

拓扑学在各领域的应用

(一)建筑领域

“几何学在建筑设计过程中扮演着重要的角色”,这是国内外建筑师们达成的共识。拓扑学作为现代几何学的分支,在建筑设计领域也发挥着重要作用。

拓扑学中有些内容能够直接应用于建筑设计的造型(如:图论、纽结理论),而有些几何学特性则渗透到建筑空间中,成为空间发展的理论基础(如:连通性、拓扑嵌入)。

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拓扑学被引入建筑学,打破了静止、确定的建筑形态一统天下的局面,为建筑设计开辟了新的发展方向——动感、连续、变化的形体和空间。

(二)3D建模领域

在3D建模领域,拓扑学的意义则在于用少的面数表达和高面数模型相似或相同的效果。

简单的说,就是通过重新优化点线面,在原始基础上进行模型的重新绘制,产生细节足够而且面数非常少的模型。

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有人甚至直接把3D世界里的拓扑应用看成是一种高级的择优布线方式。一方面,让模型变小,便于高级动画制作和更多场景展示;另一方面,拓扑的加入也是为了简化流程,它与UV制作、变形动画、平滑细分等工作强相关。

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